donner plusieurs démonstrations détaillées du théorème de Thalès

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Le théorème de Thalès est un résultat fondamental en géométrie plane qui établit une relation de proportionnalité entre les segments de droites parallèles coupant les côtés d'un triangle. Voici plusieurs démonstrations détaillées de ce théorème, basées sur différentes approches.

Démonstration par les aires des triangles

Théorème de Thalès

Si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base, alors elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles. Démonstration :
  1. Considérons un triangle ABCABC avec une droite DEDE parallèle à BCBC coupant ABAB en DD et ACAC en EE.
  2. Les triangles ADEADE et ABCABC ont la même hauteur relative à la base DEDE et BCBC respectivement.
  3. L'aire du triangle ADEADE est 12×AD×h1\frac{1}{2}\times AD\times h_1 et celle du triangle ABCABC est 12×AB×h2\frac{1}{2}\times AB\times h_2.
  4. Comme DEBCDE\parallel BC, les hauteurs h1h_1 et h2h_2 sont proportionnelles aux bases DEDE et BCBC.
  5. Par conséquent, ADAB=DEBC\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC} et AEAC=DEBC\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}, ce qui implique ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.

Réciproque du théorème de Thalès

Si une droite découpe sur deux côtés d’un triangle des segments de longueurs proportionnelles, alors elle est parallèle au troisième côté. Démonstration :
  1. Considérons un triangle ABCABC avec des points DD et EE sur ABAB et ACAC respectivement, tels que ADDB=AEEC\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}.
  2. Supposons que DEDE n'est pas parallèle à BCBC. Traçons une droite DED'E' parallèle à BCBC coupant ABAB en DD' et ACAC en EE'.
  3. Par le théorème de Thalès, ADDB=AEEC\frac{AD'}{D'B}=\frac{AE'}{E'C}.
  4. Comme il n'y a qu'une seule droite parallèle à BCBC passant par DD et EE, on doit avoir D=DD=D' et E=EE=E', donc DEBCDE\parallel BC.

Démonstration par la méthode des aires (Euclide)

  1. Considérons un triangle ABCABC avec une droite MNMN parallèle à BCBC coupant ABAB en MM et ACAC en NN.
  2. Les triangles AMNAMN et ABCABC ont la même hauteur relative à la base MNMN et BCBC respectivement.
  3. L'aire du triangle AMNAMN est 12×AM×h1\frac{1}{2}\times AM\times h_1 et celle du triangle ABCABC est 12×AB×h2\frac{1}{2}\times AB\times h_2.
  4. Comme MNBCMN\parallel BC, les hauteurs h1h_1 et h2h_2 sont proportionnelles aux bases MNMN et BCBC.
  5. Par conséquent, AMAB=MNBC\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC} et ANAC=MNBC\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}, ce qui implique AMAB=ANAC=MNBC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.

Démonstration par le calcul vectoriel

  1. Considérons un triangle ABCABC avec des points DD et EE sur ABAB et ACAC respectivement, tels que ADDB=AEEC\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}.
  2. Utilisons les vecteurs pour exprimer les points DD et EE :
    • AD=kAB\vec{AD}=k\vec{AB}
    • AE=kAC\vec{AE}=k\vec{AC}
  3. Si DEBCDE\parallel BC, alors les vecteurs DE\vec{DE} et BC\vec{BC} sont colinéaires.
  4. En utilisant les propriétés des vecteurs, on montre que DE=kBC\vec{DE}=k\vec{BC}, ce qui prouve que DEBCDE\parallel BC.
Ces démonstrations montrent différentes approches pour prouver le théorème de Thalès, chacune utilisant des concepts géométriques et algébriques variés pour établir la proportionnalité des segments dans un triangle.
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